Question

5．已知坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=1+4sinφ}\end{array}\right.$φ为参数），直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}$ρcosθ+ρsinθ=-5，θ∈[0，2π]．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C截直线l所得的弦长．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosφ，sinφ，根据同角三角函数的关系消去参数得到普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y代入直线l的极坐标方程得到直线l的普通方程．
（2）求出曲线C的半径和弦心距，利用垂径定理求出弦长．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosφ}\\{y=1+4sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），∴cosφ=$\frac{x}{4}$，sinφ=$\frac{y-1}{4}$，
∴曲线C的普通方程为（$\frac{x}{4}$）²+（$\frac{y-1}{4}$）²=1，即x²+（y-1）²=16．
将ρcosθ=x，ρsinθ=y代入直线l的极坐标方程得$\sqrt{3}$x+y+5=0．
（2）曲线C是以（0，1）为圆心，以4为半径的圆，点C到直线l的距离d=$\frac{6}{\sqrt{3+1}}$=3．
∴曲线C截直线l所得的弦长为2$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，垂径定理的应用，属于基础题．