Question

【题目】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】】试题分析： 由抛物线方程求得焦点坐标，求得的值，由双曲线的离心率公式求得其离心率，则，即可求得椭圆的半长轴的值，则，即可求得半短轴，即可求得椭圆的方程；

⑵将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得，则，

，即可求得点坐标，由中点坐标公式求得点坐标，分类当及当时，由，根据向量的坐标表示，即可求得的值

解析：（I）抛物线的焦点坐标为，所以

双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，

故椭圆的

所以椭圆方程为：

（II）由（I）知，且直线的斜率必存在，设斜率为，

则直线方程为： ，设点的坐标为，

联立方程，方程消去整理得：

两点坐标满足上述方程，由韦达定理得，

所以，

所以， 的坐标为，

线段的中点为,则点坐标为

以下分两种情况：

当时，点的坐标为,线段的垂直平分线为轴，于是

时，线段的垂直平分线方程为

，令，解得

由

所以：