已知曲线Г1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosθ}\\{y=-2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$.直线Г2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$．(1)以原点为极点.x轴的非� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

4．已知曲线Г₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosθ}\\{y=-2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线Г₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线Г₁的极坐标方程；
（2）若直线Г₂和曲线Г₁相交于A，B两点，且|AB|=4，求直线Г₂的倾斜角．．

分析（1）先求出曲线Г₁的直角坐标，再求出曲线Г₁的极坐标方程．
（2）设tanα=k，直线Г₂的普通方程为y=k（x-1）-1，设a=x-1，则直线Г₁和曲线Г₂的点表示为：（k²+1）a²+2ka-4=0，由此利用弦长公式能求出直线直线Г₁的倾斜角．

解答解：（1）∵曲线Г₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosθ}\\{y=-2+\sqrt{5}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线Г₁的直角坐标方程为：（x-1）²+（y+2）²=5，
即x²+y²-2x+4y=0，
∴曲线Г₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ=0，即ρ=2cosθ-4sinθ．
（2）∵直线Г₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
∴$\frac{dx}{dt}=cosα$，$\frac{dy}{dt}=sinα$，$\frac{dy}{dx}=tanα$，
当t=0时，y=-1，x=1，设tanα=k，
∴直线Г₂的普通方程为y=k（x-1）-1，设a=x-1，
直线Г₂和曲线Г₁的点表示为：（k²+1）a²+2ka-4=0，
${a}_{1}+{a}_{2}=-\frac{2k}{{k}^{2}+1}$，${a}_{1}{a}_{2}=-\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（-\frac{2k}{{k}^{2}+1}}）^{2}-4×（-\frac{4}{{k}^{2}+1}）$=4，
整理，得$\frac{5{k}^{2}+1}{{k}^{2}+1}=4$，解得k=$±\sqrt{3}$，
∴直线直线Г₂的倾斜角为60°或120°．

点评本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线的倾斜角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>