Question

14．在△ABC中，若sinB、cos$\frac{A}{2}$、sinC成等比数列，则此三角形的形状是等腰三角形．

Answer 1

分析 由题意和等比数列可得cos²$\frac{A}{2}$=sinBsinC，由三角函数公式化简可得B=C，可得等腰三角形．

解答 解：∵在△ABC中sinB、cos$\frac{A}{2}$、sinC成等比数列，
∴cos²$\frac{A}{2}$=sinBsinC，∴$\frac{1+cosA}{2}$=sinBsinC，
∴1+cosA=2sinBsinC，∴1-cos（B+C）=2sinBsinC，
∴1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC，
∴cosBcosC+sinBsinC=1，即cos（B-C）=1，
由三角形内角的范围可得B-C=0，即B=C，
∴△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰．

点评 本题考查三角形形状的判断，涉及等比数列和三角函数化简，属中档题．