Question

6．若不等式x²+ax+1≥0对一切x∈（0，$\frac{1}{3}$]都成立，则实数a的最小值为-$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 对△=a²-4进行讨论，结合二次函数的图象列出不等式，解出a的取值范围．

解答 解：设f（x）=x²+ax+1，
若△=a²-4≤0，即-2≤a≤2时，x²+ax+1≥0恒成立，符合题意．
若△=a²-4＞0，即a＜-2或a＞2，
当a＞2时，f（x）的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$＜0，f（0）=1，∴x²+ax+1≥0恒成立，符合题意．
当a＜-2时，若x²+ax+1≥0对一切x∈（0，$\frac{1}{3}$]都成立，则f（$\frac{1}{3}$）≥0，
∴$\frac{a}{3}$+$\frac{10}{9}$≥0，解得-$\frac{10}{3}$≤a＜-2．
综上，a的最小值是-$\frac{10}{3}$．
故答案为-$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了二次不等式与二次函数的关系，结合二次函数的图象列不等式是解题关键．