Question

已知偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[1，2]时，f（x）=（

1

2

）^x-2．设a=f（

ln3

3

），b=f（

ln5

5

），c=f（

ln6

6

），则（　　）

A．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c

Answer 1

分析：由f（x+2）=f（x），得函数的周期是2，然后利用周期性和奇偶性进行判断函数的大小．

解答：解：由f（x+2）=f（x），得函数的周期是2．因为x∈[1，2]时，f（x）=（

1

2

）^x-2．单调递减，
因为函数f（x）为偶函数，所以函数f（x）在[-2，-1]上单调递增，且在[0，1]上也单调递增．
方法1：导数法：设g（x）=

ln?x

x

，则g'（x）=

1-ln?x

x2

，当x＞e时，g'（x）＜0，此时函数单调递减，所以g（3）＞g（5）＞g（6），
所以0＜

ln?6

6

＜

ln?5

5

＜

ln?3

3

＜1，所以f(

ln6

6

)＜f(

ln5

5

)＜f(

ln3

3

)，
即c＜b＜a．
故选B．
方法2：
因为

ln?3

3

=

1

3

ln?3=ln?3

1

3

=ln?

3	3

，

ln?5

5

=

1

5

ln?5=ln?5

1

5

=ln?

5	5

，

ln?6

6

=

1

6

ln?6=ln?6

1

6

=ln?

6	6

，
又0＜

ln?6

6

＜

ln?5

5

＜

ln?3

3

＜1，所以f(

ln6

6

)＜f(

ln5

5

)＜f(

ln3

3

)．
故选B．

点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，利用函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键．考查学生的运算能力．