Question

【题目】已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn= ，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在实数m，使得Sn＜m对于任意的n∈N+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由{an}为等差数列，设公差为d，则an=a1+（n﹣1）d， ∵a3是a1和a9的等比中项，
∴ =a1a9 ， 即（2+2d）2=2（2+8d），
解得d=0（舍）或d=2，
∴an=2+2（n﹣1）=2n．
（Ⅱ）存在 ．
bn= = ，
∴数列{bn}的前n项和Sn= +…+ = ，
∴存在实数m ，使得Sn＜m对于任意的n∈N+恒成立
【解析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）存在 ．由于bn= = ，利用“裂项求和”方法即可得出．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握通项公式：或；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．