Question

5．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{x}，x＜0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\end{array}\right.$，则f（x）≥-2的解集是{x|x$≤-\frac{1}{3}$或0＜x≤4}．

Answer 1

分析 由分段函数的性质得当x＜0时，$\frac{1+x}{x}$≥-2；当x＞0时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥-2=lo{g}_{\frac{1}{2}}4$，由此能求出f（x）≥-2的解集．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{x}，x＜0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\end{array}\right.$，f（x）≥-2，
∴当x＜0时，$\frac{1+x}{x}$≥-2，∴$\frac{1+x}{x}+2=\frac{3x+1}{x}≥0$，
解得x＞0或x$≤-\frac{1}{3}$，∴x≤-$\frac{1}{3}$；
当x＞0时，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥-2=lo{g}_{\frac{1}{2}}4$，解得x≤4，∴0＜x≤4．
综上，f（x）≥-2的解集为{x|x$≤-\frac{1}{3}$或0＜x≤4}．
故答案为：{x|x$≤-\frac{1}{3}$或0＜x≤4}．

点评 本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数和不等式性质的合理运用．