Question

10．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线切于$M（-\frac{p}{2}，3）$，且△AOB的面积为$\sqrt{13}$，则抛物线C的方程为y²=4x．

Answer 1

分析 求出直线AB的方程，利用△AOB的面积为$\sqrt{13}$，建立方程求出p，即可求出抛物线C的方程．

解答 解：令A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由已知以AB为直径的圆相切于$M（-\frac{p}{2}，3）$，∴y₁+y₂=6，
A，B代入抛物线方程，作差可得k_AB=$\frac{p}{3}$，
设直线AB的方程为y=$\frac{p}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
与抛物线方程联立可得y²-6y-p²=0，∴y₁y₂=-p²，
∵△AOB的面积为$\sqrt{13}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}×$|y₁-y₂|=$\sqrt{13}$，
∴p$\sqrt{36+4{p}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x，
故答案为：y²=4x．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．