Question

已知正六棱台的上下底面的边长分别为a，b（a＜b），侧面和底面所围成的二面角为60°，则它的侧面积为

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：正六棱台侧面积S=3（a+b）x高，上下两面的面积差为

3 3

2

(a2-b2)，由已知条件推导出侧面积为棱台上下面差面积的二倍，由此能求出它的侧面积．

解答： 解：正六棱台侧面积S=3（a+b）x高，
将上下两面平分为两个相等的等腰梯形，
所以上下面面积可以表示为

3 (2a+a)

2

a和

3 (2b+b)

2

b，
现在将上平面投射到下平面，
上下两面的面积差为

3 3

2

(a2-b2)，
然后连接上面投影与下面的6个棱角，
下面比上面多出的面积正好是6个等腰梯形组成（后文称小梯形），
而这梯形的上下底与侧面梯形上下底同是a与b，
过投影一顶点A到棱台下面对应边的垂线交于B，
则这条垂线AB就是“小梯形”的高，
再过B作B所在棱台侧面的等腰梯形的高交上面边于C，
则BC为棱台侧面等腰梯形的高，
由已知条件得知二面角为60°，
则BC=2AC 所以侧面积为棱台上下面差面积的二倍，
∴它的侧面积为S=2×

3 3

2

(a2-b2)=3

3

（a²-b²）．
故答案为：3

3

（a²-b²）．

点评：本题考查正六棱台侧面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．