Question

11．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三角形的面积公式，S_△ABC=2S_△MBC，则S_△MBC=1，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²，方法一、利用导数求得函数的单调性，即可求得$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值；
方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值．

解答 解：∵D、E是AB、AC的中点，
∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，
∴S_△ABC=2S_△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S_△MBC=1，
S_△MBC=$\frac{1}{2}$丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，
∴丨MB丨•丨MC丨=$\frac{2}{sin∠BMC}$．
∴$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=$\frac{2cos∠BMC}{sin∠BMC}$．
由余弦定理，丨BC丨²=丨BM丨²+丨CM丨²-2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，
显然，BM、CM都是正数，
∴丨BM丨²+丨CM丨²≥2丨BM丨•丨CM丨，
∴丨BC丨²=丨BM丨²+丨CM丨²-2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC
=2×$\frac{2}{sin∠BMC}$-2×$\frac{2cos∠BMC}{sin∠BMC}$．
∴$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²≥$\frac{2cos∠BMC}{sin∠BMC}$+2×$\frac{2}{sin∠BMC}$-2×$\frac{2cos∠BMC}{sin∠BMC}$
=2•$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$，
方法一：令y=$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$，则y′=$\frac{1-2cos∠BMC}{si{n}^{2}∠BMC}$，
令y′=0，则cos∠BMC=$\frac{1}{2}$，此时函数在（0，$\frac{1}{2}$）上单调减，在（$\frac{1}{2}$，1）上单调增，
∴cos∠BMC=$\frac{1}{2}$时，$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$取得最小值为$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值为2$\sqrt{3}$；
方法二：令y=$\frac{2-cos∠BMC}{sin∠BMC}$，
则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（∠BMC+α）=2，
tanα=$\frac{1}{y}$，
则sin（∠BMC+α）=$\frac{2}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$≤1，
解得：y≥$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值为2$\sqrt{3}$；
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．