Question

17．新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8，2960），（13，3830），（17，4750），（22，5500），（（25，6370）），（33，8140），（（37，8950）），（45，10700），设由这8组数据得到的回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+1110，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车．
（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；
（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：

上一年的出险次数	0	1	2	3	4	≥5
下一年的保费倍率	0.85	1	1.25	1.5	1.75	2
连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折

有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）：

一年中的出险次数	0	1	2	3	4	≥5
频数	500	380	100	15	4	1

根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）

Answer 1

分析 （1）求出样本平均数，代入直线方程，即可求出线性回归方程；
（2）求出2017年保费的期望倍率，即可估计2017年1月应缴纳保费．

解答 解：（1）$\overline{x}=25$万元，$\overline{y}=6400$元，…（2分）
直线$\hat y=\hat bx+1110$经过样本中心$（\bar x，\;\;\bar y）$，
解得$\hat b=211.6$，…（4分）
则回归直线方程为$\hat y=211.6x+1110$，…（5分）
李先生购买20万元车时应缴纳保费211.6×20+1110=5342元．…（6分）
（2）设该车辆2017年的保费倍率为X，则X的可能取值为0.85，1，1.25，1.75，2
且X的分布列为

X	0.85	1	1.25	1.5	1.75	2
P	0.5	0.38	0.1	0.015	0.004	0.001

…（9分）
2017年保费的期望倍率为E（X）=0.85×0.5+1×0.38+1.25×0.1+1.5×0.015+1.75×0.004+2×0.001=0.9615．…（10分）
该车辆估计2017年1月应缴纳保费为5342×0.9615≈5136．

点评 本题考查线性回归方程，考查期望的计算，考查学生分析解决问题的了，属于中档题．