Question

5．已知不等式$\frac{a}{sinx}$+$\frac{a}{cosx}$＞1对x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]恒成立，则a的取值范围是a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]时sinx＞0，cosx＞0，原不等式化为a＞$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$对x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]恒成立；设f（x）=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$，求出它的最大值即可．

解答 解：当x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]时，sinx＞0，cosx＞0；
∴不等式$\frac{a}{sinx}$+$\frac{a}{cosx}$＞1可化为
a＞$\frac{1}{\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}}$=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$对x∈[${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$]恒成立；
设f（x）=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
令t=sinx+cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）；
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]；
令sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
则y=$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$）在（0，+∞）上是单调增函数，
当t=$\sqrt{2}$时，y_max=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$-$\frac{1}{\sqrt{2}}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴a的取值范围是a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了转化思想与函数在闭区间上的最值问题，是综合性题目．