Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（a²-a）lnx-x（a＜0），且函数f（x）在x=2处取得极值．
（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）若?x∈[1，e]，f（x）-m≤0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出f（x）的表达式，求出切线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为：求f（x）在区间[1，e]上的最大值，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（I）由f′（x）=x-$\frac{a（a-1）}{x}$-1，f′（2）=0，得a=-1或a=2（舍去）
经检验，当a=-1时，函数f（x）在x=2处取得极值．
a=-1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx-x，f′（x）=x-$\frac{2}{x}$-1，
则f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=-2，
所以所求的切线方式为y+$\frac{1}{2}$=-2（x-1），
整理得4x+2y-3=0；
（II）问题转化为：求f（x）在区间[1，e]上的最大值：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
f'（x）		-	0	+
f（x）	$-\frac{1}{2}$	↘	最小值	↗	$\frac{e^2}{2}-2-e$

比较$\frac{e^2}{2}-2-e-（-\frac{1}{2}）=\frac{{{e^2}-2e-3}}{2}=\frac{（e-3）（e+1）}{2}＜0$，
所以$f{（x）_{max}}=-\frac{1}{2}$，即$m≥-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．