Question

【题目】已知函数，，m，nR.

（1）当m＝0时，求函数的极值；

（2）当n＝0时，函数在(0，)上为单调函数，求m的取值范围；

（3）当n＞0时，判断是否存在正数m，使得函数与有相同的零点，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）函数有极大值﹣1，无极小值;（2）m的取值范围为{0};（3）存在正数m，使得函数与有相同的零点，详见解析.

【解析】

（1）当时，利用研究函数的单调性，由此求得函数的极值.

（2）当时，由或恒成立，将分成，，和四种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（3）设为相同的零点，由此得到，进而得到①，②.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得①②能同时成立，由此证得存在符合题意的正数.

（1）当m＝0时，，

∴，令，解得x＝1，列表如下：

x	(0，1)	1	(1，)
	＋	0	－
	单调递增		单调递减

∴当x＝1时，函数有极大值﹣1，无极小值；

（2）当n＝0时，函数

∴，

要使函数在(0，)上为单调函数，

则对(0，)，或恒成立，

令，或恒成立

①当0＜m＜2时，(0，)(，)时，，(，)时，，不符题意；

②当m＜0时，(0，)(，)时，，(，)时，，不符题意；

③当m≥2时，(0，)时，，(，)时，，不符题意；

④当m＝0时，，此时恒成立，

函数在(0，)上单调递减，符合题意，

综上所述，m的取值范围为{0}；

（3）∵函数与有相同的零点，不妨设为相同的零点

则，

得①，②，

由（1）知，故，

∴，

令，

又，，

故当(1，n＋3)时，，②式有解，且能满足，

∴存在正数m，使得函数与有相同的零点.