Question

设集合G={f（x）|[f（a）]²-[f（b）]²=f（a-b）•f（a+b），a，b∈R}，以以下命题：
①若f（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

，则f（x）∈G；
②若f（x）=2x，则f（x）∈G
③若f（x）=cosx，则f（x）∈G；
④若f（x）∈G，则y=f（x）的图象关于原点对称．
其中真命题的序号是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：①②③可验证时否符合集合的公共属性；④证明是奇函数

解答： 解：①当f（x）=

1，x≥0 -1，x＜0

时可计算f（a）]²-[f（b）]²=f（a-b）•f（a+b），不恒等．故错误
②当f（x）=2x时，f（a）]²-[f（b）]²=f（a-b）•f（a+b）成立．故正确
③令a=b=0，得f（0）=cos0=1，则由f（0）]²-[f（0）]²=0≠f（0-0）•f（0+0），故不符合
④③令x=y=0，得f（0）=0，令x=0，则由f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）得：f（y）•f（-y）=-f²（y）所以f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故正确，
故只有②④正确
故答案为：②④

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，属于中档题．