Question

15．已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1，有下列四个结论：
①函数f（x）在区间[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是增函数；
②点（$\frac{3π}{8}$，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
③函数f（x）的图象可以由函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$得到；
④若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则f（x）的值域为[0，$\sqrt{2}$]．
则所有正确结论的序号是①②．

Answer 1

分析 将函数f（x）化简成y=Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数图象及性质对各项进行判断即可．

解答 解：函数f（x）=sin2x+2cos²x-1，
化简得：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
函数f（x）的单调增区间为[kπ$-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]，（k∈Z），
当k=0时，可得函数f（x）在区间[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]上是单调递增；∴①对．
函数f（x）的对称中心坐标为（$\frac{1}{2}πk-\frac{π}{8}$，0），（k∈Z），
当k=1时，可得函数f（x）的对称中心坐标为（$\frac{3π}{8}$，0）；∴②对．
函数y=$\sqrt{2}$sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$得到y=$\sqrt{2}$sin2（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$cos2x．∴③不对．
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，那么$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，当$x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$时，
函数f（x）取得最小值为1，∴值域为[1，$\sqrt{2}$]．
∴④不对．
故答案为：①②．

点评 本题考查了三角函数的图象及性质的综合运用能力和计算，有一定的综合性，属于中档题．