Question

已知动圆过定点（

p

2

，0），且与直线x=-

p

2

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（Ⅱ）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π且θ≠

π

2

）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（I）设M为动圆圆心，（

p

2

，0）为记为F，过点M作直线x=-

p

2

的垂线，垂足为N，进而可知动点M到定点F与定直线x=-

p

2

的距离相等，进而推断点M的轨迹为抛物线，进而根据抛物线性质可得答案．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设其方程为y=kx+b，与抛物线方程联立，根据韦达定理表示出y₁+y₂，y₁•y₂，分θ=

π

2

和θ≠

π

2

时，求得直线方程，进而判断直线AB恒过是否定点．

解答：解：（I）如图，设M为动圆圆心，（

p

2

，0）为记为F，
过点M作直线x=-

p

2

的垂线，垂足为N，
由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线x=-

p

2

的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（

p

2

，0）为焦点，x=-

p

2

为准线，
所以轨迹方程为y²=2px（P＞0）；

（II）如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁，x₂≠0．
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x₁=

y 2 1

2p

，x₂=

y 2 2

2p

．
将y=kx+b与y²=2px（p＞0）联立消去x，得ky²-2py+2pb=0
由韦达定理知y₁+y₂=

2p

k

，y₁•y₂=

2pb

k

①
（1）当θ=

π

2

时，即α+β=

π

2

时，tanα•tanβ=1．
所以

y1

x1

•

y2

x2

，x₁x₂-y₁y₂=0，

y 2 1 y 2 2

4p2

-y₁y₂=0．
所以y₁y₂=4p²
由①知：

2pb

k

=4p²，所以b=2pk．
因此直线AB的方程可表示为y=kx+2Pk．
即k（x+2P）-y=0所以直线AB恒过定点（-2p，0）
（2）当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

将①式代入上式整理化简可得：tanθ=

2p

b-2pk

，所以b=

2p

tanθ

+2pk．
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

2p

tanθ

+2pk．即k（x+2p）-（y-

2p

tanθ

）=0．
所以直线AB恒过定点（-2p，

2p

tanθ

）．
所以由（1）（2）知，当θ=

π

2

时，直线AB恒过定点（-2p，0），当θ≠

π

2

时直线AB恒过定点（-2p，

2p

tanθ

）．

点评：本题主要考查了求轨迹方程的问题．涉及直线的抛物线的关系，常需要联立方程根据韦达定理找到解决问题的突破口．