Question

已知动圆过定点(

p

2

，0)，且与直线l：x=-

p

2

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）设A（x₀，y₀）为轨迹C上一定点，经过A作直线AB、AC 分别交抛物线于B、C 两点，若 AB 和AC 的斜率之积为常数c．求证：直线 BC 经过一定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M为动圆圆心，过点M作直线l：x=-

p

2

的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|，由抛物线的定义知，
点M的轨迹是以F(

p

2

，0)为焦点，l：x=-

p

2

为准线的抛物线，从而求得其轨迹方程． 
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出BC的斜率，用点斜式求得BC的方程2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，再根据
AB 和AC 的斜率之积为常数c，得到，y1y2=

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0，可得BC的方程为2p(x-x0+

2p

c

)-(y1+y2)(y+y0)=0，可得直线BC经过定点(x0-

2p

c

，-y0)．

解答：解：（Ⅰ）设M为动圆圆心，设F(

p

2

，0)，过点M作直线l：x=-

p

2

的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(

p

2

，0)为焦点，l：x=-

p

2

为准线，所以轨迹方程为y²=2px（p＞0）．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
于是（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂），∴BC的斜率 kBC=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

．
所以，直线BC的方程为y-y1=

2p

y1+y2

(x-x1)，即2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0.kABkAC=

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

y 2 1 2p - y 2 0 2p

•

y2-y0

y 2 2 2p - y 2 0 2p

=

4p2

(y1+y0)(y2+y0)

=c，
所以，y1y2=

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0．
所以，直线BC的方程为2px-(y1+y2)y+

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0=0．
即2p(x-x0+

2p

c

)-(y1+y2)(y+y0)=0．  于是，直线BC经过定点(x0-

2p

c

，-y0)．

点评：本题考查抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，用点斜式求直线的方程，求出直线BC的方程为2px-(y1+y2)y+

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0=0，是解题的难点．