Question

已知动圆过定点(

p

2

，0)，且与直线x=-

p

2

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=

π

4

时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动圆圆心为M（x，y），则

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，由此能导出所求动圆圆心的轨迹C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为y=kx+b，把y=kx+b代入y²=2px：得ky²-2py+2pb=0，由韦达定理知，y1+y2=

2p

k

，y1•y2=

2pb

k

，由α+β=

π

4

得：1=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

y1 x1 + y2 x2

1- y1 x1 • y2 x2

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

，由此能求出直线AB恒过定点（-2p，2p）．

解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心为M（x，y）…（1分）
则

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，
化简，得：y²=2px（p＞0）…（3分）
∴所求动圆圆心的轨迹C的方程是：y²=2px（p＞0）…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π），且x₁≠0，x₂≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

．即

y1

x1

=

2p

y1

，

y2

x2

=

2p

y2

，…（6分）
把y=kx+b代入y²=2px：得ky²-2py+2pb=0，
由韦达定理知，y1+y2=

2p

k

，y1•y2=

2pb

k

①…（8分）
由α+β=

π

4

得：1=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

y1 x1 + y2 x2

1- y1 x1 • y2 x2

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

把①代入上式，整理化简，得：1=

2p

b-2pk

，∴b=2p+2pk，…（11分）
此时，直线AB的方程可表示为：y=kx+2p+2pk，即k（x+2p）-（y-2p）=0…（13分）
∴直线AB恒过定点（-2p，2p）．…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．