【题目】已知函数 ,其导函数为.
(1)设,若函数在上有且只有一个零点,求的取值范围;
(2)设,且,点是曲线上的一个定点,是否存在实数,使得成立?证明你的结论
【答案】(1)或(2)不存在实数,使得成立.
【解析】试题分析:(1)求得的解析式,令 ,可得,设,求得的导数和单调区间、极值;结合零点个数只有一个,即可得到的范围;(2)假设存在实数,使得成立,求得的导数,化简整理可得,考虑函数的图象与的图象关于直线对称,上式可转化为,设 ,上式即为,令,求出导数,判断单调性即可判断不存在.
试题解析:(1)当时, 由题意只有一解.
由得令则令得或
当时, 单调递减, 的取值范围为
当时, 单调递增, 的取值范围为
当时, 单调递减, 的取值范围为
由题意,得或,从而或,
所以,当或时,函数只有一个零点.
(2)
假设存在,则有
即
不妨设,则,两边同除,得
令
令
在上单调递增
对恒成立,
在上单调递增
又对恒成立,即(*)式不成立,
不存在实数,使得成立.
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【题目】已知椭圆的焦点在x轴上,短轴长为4,离心率为 .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l过该椭圆的左焦点,交椭圆于M、N两点,且 ,求直线l的方程.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,2an+1=an , 若对于任意n∈N* , 当t∈[﹣1,1]时,不等式x2+tx+1>Sn恒成立,则实数x的取值范围为 .
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【题目】已知等差数列{an}中,a1=1,且a2+2,a3 , a4﹣2成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn= ,求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】“微信运动”已成为当下热门的运动方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人,其中每日走路不超过5000步的有人,超过10000步的有人,设,求的分布列及数学期望.
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【题目】如图所示,扇形,圆心角的大小等于,半径为2,在半径上有一动点,过点作平行于的直线交弧于点.
(1)若是半径的中点,求线段的大小;
(2)设,求面积的最大值及此时的值.
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【题目】已知f(x)= ,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(2)>0;④f(0)f(2)<0.其中正确结论的序号为( )
A.①③
B.①④
C.②④
D.②③
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.数据4、6、6、7、9、4的众数是4
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C.数据3,5,7,9的标准差是数据6、10、14、18的标准差的一半
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
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