Question

（2009•山东模拟）已知α为锐角，向量

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），且

a

⊥

b

（1）求α的值．
（2）若

x

=2

3

a

+2

b

，

y

=2

a

+2

3

b

，求向量

x

与

y

的夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据数量积的坐标运算公式，结合向量

a

、

b

互相垂直，得

a

•

b

=sin3α=0，结合α为锐角，得3α=π，可得α=

π

3

；
（2）由向量模的公式，可得向量

a

、

b

的模均为1，可得

x

•

y

=（2

3

a

+2

b

）（2

a

+2

3

b

）=8

3

，再计算出向量

x

与

y

的模都等于4，结合两个向量的夹角公式即可算出

x

与

y

的夹角的余弦值．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），
∴

a

•

b

=sinαcos2α+cosαsin2α=0，即sin3α=0
∵α为锐角，得3α∈（0，

3π

2

）
∴3α=π，可得α=

π

3

（2）∵α=

π

3

，得

a

=（sinα，cosα）=（

3

2

，

1

2

），

b

=（cos2α，sin2α）=（-

1

2

，

3

2

），
∴|

a

|=|

b

|=1，且

a

•

b

=0
因此，

x

•

y

=（2

3

a

+2

b

）（2

a

+2

3

b

）
=4

3

a

2+16

a

•

b

+4

3

b

2=8

3

而且|

x

|=

(2 3 a +2 b )2

=4，|

b

|=

(2 a +2 3 b )2

=4
设向量

x

与

y

的夹角为θ，可得cosθ=

x • y

| x |•| y |

=

8 3

4×4

=

3

2

即向量

x

与

y

的夹角的余弦值为

3

2

．

点评：本题给出两个向量含有三角函数的坐标形式，求它们的线性组合向量的夹角余弦之值，着重考查了平面向量数量积的运算、两角和的正弦函数公式和向量夹角公式等知识，属于基础题．