【题目】如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC,
由PA⊥平面ABC,BC平面ABC,得PA⊥BC.
又PA∩AC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
因为BC平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)过C作CM∥AP,则CM⊥平面ABC.
如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB、CA、CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
在Rt△ABC中,因为AB=2,AC=1,所以BC=.
因为PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故
=(
,0,0),
=(0,1,1).
设平面BCP的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以
不妨令y1=1,则n1=(0,1,-1).因为=(0,0,1),
=(
,-1,0),
设平面ABP的法向量为n2=(x2,y2,z2),则所以
不妨令x2=1,则n2=(1,,0).于是cos〈n1,n2〉=
=
.
由题图可判断二面角为锐角,所以二面角C-PB-A的余弦值为.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,直线的极坐标方程为
,现以极点
为原点,极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)若曲线为曲线
关于直线
的对称曲线,点
,
分别为曲线
、曲线
上的动点,点
坐标为
,求
的最小值.
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【题目】设、
、
表示不同的直线,
、
、
表示不同的平面,给出下列
个命题:其中命题正确的个数是( )
①若,且
,则
;
②若,且
,则
;
③若,
,
,则
;
④ 若,
,
,且
,则
.
A.B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为:
(
为参数),在以
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若曲线与
交于
,
两点,点
的坐标为
,求
.
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【题目】某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一户居民月用电量标准a,用电量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费为此,政府调查了100户居民的月平均用电量
单位:度
,以
,
,
,
,
,
分组的频率分布直方图如图所示.
根据频率分布直方图的数据,求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量
的值;
用频率估计概率,利用
的结果,假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布
估计该市居民月平均用电量介于
度之间的概率;
利用
的结论,从该市所有居民中随机抽取3户,记月平均用电量介于
度之间的户数为
,求
的分布列及数学期望
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
,
,
为
的中点..
(1)求证:平面平面
;
(2),在线段
上是否存在一点
,使得二面角
的余弦值为
.请说明理由.
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【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数存在两个极值点
,求
的取值范围;
(3)若不等式对任意的实数
恒成立,求实数
的取值范围.
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