Question

【题目】已知函数，其中.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；

（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）是方程的两个正根，可得，则可化为，令，可得在上单调递增，所以；（3）对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，讨论的范围，令的最小值不小于零，可得到实数的取值范围.

详解：（1）当时，，故，

且，故

所以函数在处的切线方程为

（2）由，可得

因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，

即的两个正根为

所以，即

所以

令，故，在上单调递增，

所以

故得取值范围是

（3）据题意，对任意的实数恒成立，

即对任意的实数恒成立.

令，则

①若，当时，，故符合题意；

②若，

（i）若，即，则，在上单调赠

所以当时，，故符合题意；

（ii）若，即，令，得（舍去），

，当时，，在上单调减；

当时，，在上单调递增，

所以存在，使得，与题意矛盾，

所以不符题意.

③若，令，得

当时，，在上单调增；当时，，

在上单调减.

首先证明：

要证：，即要证：，只要证：

因为，所以，故

所以

其次证明，当时，对任意的都成立

令，则，故在上单调递增，

所以，则

所以当时，对任意的都成立

所以当时，

即，与题意矛盾，故不符题意，

综上所述，实数的取值范围是.