【题目】已知函数,其中
.
Ⅰ
当
时,
恒成立,求a的取值范围;
Ⅱ
设
是定义在
上的函数,在
内任取
个数
,
,
,
,
,设
,令
,
,如果存在一个常数
,使得
恒成立,则称函数
在区间
上的具有性质P.试判断函数
在区间
上是否具有性质P?若具有性质P,请求出M的最小值;若不具有性质P,请说明理由.
注:
【答案】Ⅰ
;
Ⅱ
具有,最小值为3
【解析】
Ⅰ
当
时,
恒成立,可转化为
恒成立,进而转化为函数最值问题解决;
Ⅱ
先研究函数
在区间
上的单调性,然后对
内的任意一个取数方法
,根据性质P的定义分两种情况讨论即可:①存在某一个整数
2,3,
,
,使得
时,②当对于任意的
1,2,3,
,
,
时,
,利用函数的单调性去绝对值,化简,求
的最小值.
Ⅰ
当
时,
恒成立,即
时,
恒成立,
因为,所以
恒成立,即
在区间
上恒成立,
所以,即
,
所以即a的取值范围是
.
Ⅱ
由已知
,可知
在
上单调递增,在
上单调递减,
对于内的任意一个取数方法
,
当存在某一个整数2,3,
,
,使得
时,
.
当对于任意的1,2,3,
,
,
时,则存在一个实数k使得
,
此时
,
当时,
式
,
当时,
式
,
当时,
式
.
综上,对于内的任意一个取数方法
,均有
.
所以存在常数,使
恒成立,
所以函数在区间
上具有性质P.
此时M的最小值为3.
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【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数存在两个极值点
,求
的取值范围;
(3)若不等式对任意的实数
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】下表为年至
年某百货零售企业的线下销售额(单位:万元),其中年份代码
年份
.
年份代码 | ||||
线下销售额 |
(1)已知与
具有线性相关关系,求
关于
的线性回归方程,并预测
年该百货零售企业的线下销售额;
(2)随着网络购物的飞速发展,有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑,某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法,随机调查了位男顾客、
位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种),其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有
人、女顾客有
人,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关?
参考公式及数据:.
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【题目】如图,设抛物线的准线
与
轴交于椭圆
的右焦点
,
为左焦点,椭圆的离心率为
,抛物线
与椭圆
交于
轴上方一点
,连接
并延长
交
于点
为
上一动点,且在
之间移动.
(1)当取最小值时,求
和
的方程;
(2)若的边长恰好是三个连接的自然数,求
面积的最大值.
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【题目】已知直线l的方程为x﹣3y+3=0.
(Ⅰ)若直线l1与l在y轴上的截距相等,且l1的倾斜角是l的倾斜角的两倍,求直线l1的一般式方程;
(Ⅱ)若直线l2过点(,2),且l2与l垂直求直线l2的斜截式方程.
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【题目】十九大提出,坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,帮助贫困村种植蜜柚,并利用电商进行销售,为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分别在,
,
,
,
,
(单位:克)中,其频率分布直方图如图所示.
(1)按分层抽样的方法从质量落在,
的蜜柚中抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽取2个,求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率;
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售,某电商提出两种收购方案:
A.所有蜜柚均以40元/千克收购;
B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2250克的以80元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
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【题目】已知集合M是满足下列性质的函数的全体:在定义域内存在
,使得
成立.
(1)函数是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数,求
的取值范围;
(3)已知函数图象与函数
的图象有交点,根据该结论证明:函数
.
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【题目】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.
求证:(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
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