Question

【题目】已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在区间单调递减（2）

【解析】

（1）当时，求得函数的导数，构造函数，利用导数求得的单调性与最值，进而得出的符号，即可求解函数的单调性；

（2）求得函数导数，构造新函数，求得的导数，分，，，四种情况讨论，求得的单调性与最值，得出单调性，即可求解的极值，进而得到的范围.

（1）当时，，定义域为，

，设，则，

当时，，当时，

所以函数在单调递增，在单调递减，

的最大值为，所以当时，，即

所以函数在区间单调递减

（2）由已知得：，则，

记，则，，

①若时，则当时，在单调递增

且当时，，即

当时，，即

又，所以函数在处取得极小值，满足题意.

②若时，则，当时，，故函数区间单调递增，

且当时即

当时，即

又，所以函数在处取得极小值，满足题意.

③若时，则，由（1）知函数在区间单调递减，

故在区间单调递减，不满足题意.

④若时，则，当时，故函数在单调递减

且当时，，即

当时，，即，又，

所以函数在处取得极大值，不满足题意.

综上，实数a的取值范围是