Question

【题目】在△ABC中，已知 ．
（1）求证：tanB=3tanA；
（2）若cosC= ，求A的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，

由正弦定理 = 得：sinBcosA=3sinAcosB，

又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，

在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA

（2）解：∵cosC= ，0＜C＜π，

sinC= = ，

∴tanC=2，

则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，

∴ =﹣2，

将tanB=3tanA代入得： =﹣2，

整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，

解得：tanA=1或tanA=﹣ ，

又cosA＞0，∴tanA=1，

又A为三角形的内角，

则A= ．

【解析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．