Question

6．已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=6时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥4的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求得|x+1|+|x-2|＞6，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．
（2）由关于x的不等式f（x）≥4，得到|x+1|+|x-2|≥m+16．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x-2|≥3，令m+16≤3，求解即可得到答案．

解答 解：（1）由题设知：当m=6时：|x+1|+|x-2|＞6，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+1+x-2＞6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜2}\\{x+1-x+2＞6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-x+2＞6}\end{array}\right.$，
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（$\frac{7}{2}$，+∞）；
（2）不等式f（x）≥4即|x+1|+|x-2|≥m+16，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴不等式|x+1|+|x-2|≥m+16解集是R，等价于m+16≤3，
∴m的取值范围是（-∞，-13]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．