Question

15．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，曲线C的方程为y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）设t为l参数，若$x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$，求直线l的参数方程；
（Ⅱ）直线与曲线C交于P，Q，设M（-2，-4），且|PQ|²=|MP|•|MQ|，求实数p的值．

Answer 1

分析 （I）直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，利用互化公式可得直角坐标方程：x-y-2=0．设t为l参数，若$x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$，可得直线l经过点（-2，-4），斜率为1．可得直线l的参数方程．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入曲线C的方程可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p）t+32+8p=0．设MP=t₁，MQ=t₂．|PQ|²=$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂，|MP|•|MQ|=t₁•t₂．根据|PQ|²=|MP|•|MQ|，近期根与系数的关系即可得出．

解答 解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，利用互化公式可得直角坐标方程：x-y-2=0．
设t为l参数，若$x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$，可得直线l经过点（-2，-4），斜率为1．
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入曲线C的方程y²=2px（p＞0）．
可得：t²-（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p）t+32+8p=0．
设MP=t₁，MQ=t₂．
则t₁+t₂=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p，t₁•t₂=32+8p．
|PQ|²=$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂，|MP|•|MQ|=t₁•t₂．
∵|PQ|²=|MP|•|MQ|，
∴$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$-4t₁t₂=t₁•t₂．
即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$=5t₁t₂．
∴$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）^{2}$=5（32+8p），
化为：4+p=5，解得p=1．

点评 本题考查了直角坐标方程与极坐标方程互化、直线参数方程及其应用、直线与曲线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．