Question

3．已知正数x，y满足x+4y=m，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为1，则m=9．

Answer 1

分析 将原式子变形为$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{m}$（ $\frac{x+4y}{x}$+$\frac{x+4y}{y}$）=$\frac{1}{m}$（1+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+4），使用基本不等式，求得最小值．

解答 解：∵正数x，y满足x+4y=m，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{m}$（$\frac{x+4y}{x}$+$\frac{x+4y}{y}$）=$\frac{1}{m}$（1+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+4）
≥$\frac{1}{m}$（5+2 $\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$）
=$\frac{9}{m}$=1，当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{x}{y}$时，等号成立，
故m=9，
故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式的应用，变形是解题的关键和难点．