Question

如图4所示，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是棱形，其边长为4，∠BAD=60°，点M，N，E分别在棱AA₁，BB₁，CC₁上，过M，N，E的面与棱DD₁交于F，AM=2，BN=4，CE=5．求：
（1）求证：平面MNEF⊥平面ABB₁A₁；
（2）求平面MNEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知MF∥NE，MN∥EF，从而四边形MNEF是平行四边形，取MN中点G，AB中点Q，QG是梯形的中位线，从而QG=

1

2

（AM+BN）=3，进而四边形QGFD为平行四边形，由△ABD是正三角形，得DQ⊥平面AA₁B₁B，由此能平面MNEF⊥平面AA₁B₁B．
（2）以DQ、DC、DD₁为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面MNEF的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出平面MNEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵平面ADD₁A₁∩平面EFMN=MF，平面BB₁C₁C∩平面EFMN=NE，
∴MF∥NE，同理MN∥EF，∴四边形MNEF是平行四边形，
∵梯形ACEM与梯形BNFD有公共中位线，
∴AM+CE=BN+DF，∴DF=3，
取MN中点G，AB中点Q，∵QG是梯形ABNM的中位线，∴QG=

1

2

（AM+BN）=3，
∴QG∥DF，QG=DF，∴四边形QGFD为平行四边形，∴FG∥DG，
又△ABD是正三角形，且Q为AB的中点，
∴DQ⊥AB，又DQ⊥AA₁，∴DQ⊥平面AA₁B₁B，
∴FG⊥平面AA₁B₁B，又FG?平面MNEF，∴平面MNEF⊥平面AA₁B₁B．
（2）解：以DQ、DC、DD₁为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
F（0，0，3），G（2

3

，0，3），M（2

3

，-2，2），

FM

=（2

3

，-2，-1_，

FG

=（2

3

，0，0），
设平面MNEF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • FM =2 3 x-2y-z=0 n • FG =2 3 x=0

，取y=-1，得

n

=（0，-1，2），
又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

2

5

=

2 5

5

，
∴平面MNEF与底面ABCD所成的锐二面角的余弦值为

2 5

5

．

点评：本题考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角、梯形及平行四边形等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．