Question

【题目】已知点是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．

（1）若直线与交于，两点，为坐标原点，证明：；

（2）若是上一动点，点不在直线：上，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．试判断与中是否有一个为定值？若是，请指出哪一个为定值，并加以证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析：（1）依题意得，列出方程组，求得，即可得到的方程，把直线方程与曲线的方程联立，求得，，结合向量的运算，即可证得；

（2）由（1）知，，故的方程为，设，则的横坐标为，求出，由题意知：，与联立可得，求出，则不是定值，为定值．

详解：（1）依题意得∴，

∵，∴，故的方程为．

由得，

设，，则，，

∴，∴．

（2）由（1）知，，故的方程为，

设（且），则的横坐标为，易知在上，则．

由题可知：，与联立可得，

所以，

则不是定值，为定值．