Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，， .

（1）证明： ；

（2）若三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）取的中点，连接、、、，由菱形的性质可得，，则平面，.

（2）由题意结合几何关系可得平面，建立空间直角坐标系.则平面的一个法向量为，是平面的一个法向量.据此计算可得二面角的余弦值为.

详解：（1）取的中点，连接、、、，

由菱形的性质及.

得，为正三角形.

∴，，且.

∴平面，∴.

（2）三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，

得四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于.

平行四边形的面积为.

设四棱锥的高为，则：

，∴，

又，平面，

建立如图直角坐标系：.

则，，.

，，

设平面的一个法向量为，

则，

取一个法向量为，

显然是平面的一个法向量.

则.

二面角的余弦值为.