Question

为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．
（1）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A．
每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3⁴种等可能的情况．
事件A所包含的等可能事件的个数为3，
∴．
即4人恰好选择了同一家公园的概率为．

（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则．
4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，
∴随机变量X服从二项分布．
X可取的值为0，1，2，3，4．
，i=0，1，2，3，4．
∴X的分布列为：

∴X的期望为．
分析：（I）本题是一个等可能事件的概率，每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3⁴种等可能的情况．满足条件的事件A所包含的等可能事件的个数为3，写出结果．
（II）选择甲公园的志愿者的人数为X，则X可取的值为0，1，2，3，4，4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，得到随机变量X服从二项分布．根据二项分布概率公式，写出分布列和期望．
点评：本题主要考查二项分布，每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中实件发生的次数．