Question

已知在长方体中，点为棱上任意一点，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，由长方体的性质，易证平面，从而可证平面平面；（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值，求二面角问题，可用传统方法，找二面角的平面角，但本题不易找，另一种方法，用向量法，本题因为是长方体，容易建立空间坐标系，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，利用向量的运算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）为正方形                      2分
平面                         4分
又，平面  平面平面      6分
（Ⅱ）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系     7分
设平面的法向量为，
                    9分
设平面的法向量为，
                      11分
                             13分
二面角的余弦值为                     14分