Question

12．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且$\sqrt{3}$（tanA-tanB）=1+tanA•tanB，a²-ab=c²-b²，求A、B、C的大小．

Answer 1

分析 根据两角和差的正切公式以及余弦定理分别进行求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{3}$（tanA-tanB）=1+tanA•tanB．
∴tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即A-B=$\frac{π}{6}$，
∵a²-ab=c²-b²，
∴a²+b²-c²=ab，
即cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
即A+B=$\frac{2π}{3}$，
∵A-B=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{5π}{12}$，B=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及两角和差的正切公式进行化简是解决本题的关键．