Question

9．已知集合M={m|m=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈Q}，则下列元素中属于集合M的有（　　）
①m=1+$\sqrt{2}$π；②m=$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$；③m=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$；④m=$\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 ①由于π∉Q，即可判断出m与M的关系；
②由于m=$\sqrt{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）^{2}}$=2+$\sqrt{3}$，即可判断出m与M的关系；
③由m=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=1-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，即可判断出m与M的关系；
④由m²=4+2$\sqrt{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=6，即可判断出m与M的关系．

解答 解：①∵π∉Q，∴m∉M；
②∵m=$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$=$\sqrt{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）^{2}}$=2+$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}≠\sqrt{2}$，∴m∉M；
③∵m=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=1-$\frac{1}{2}\sqrt{2}$，a=1，b=-$\frac{1}{2}$，∴m∈M；
④∵m=$\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$，∴m²=4+2$\sqrt{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=6，∴m=$\sqrt{6}$∉M．
综上可得：只有③满足条件．
故选：B．

点评 本题考查了元素与集合之间的关系、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．