Question

19．已知各项都不相等的等差数列{a_n}，a₄=10，又a₁，a₂，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，可得：a₁+3d=10，①，（a₁+d）²=a₁（a₁+5d），②，由①②可解得：a₁，d，即可得解．
（2）由（1）可知：b_n=2^3n-2+2n，利用等比（等差）数列的求和公式即可得解．

解答 解：（1）∵a₄=10，设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，可得：a₁+3d=10，①
∵a₁，a₂，a₆成等比数列，可得：（a₁+d）²=a₁（a₁+5d），②
∴由①②可解得：a₁=1，d=3，
∴a_n=3n-2…6分
（2）由（1）可知：b_n=2^3n-2+2n，
所以，求数列{b_n}的前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）
=$\frac{2（1-{8}^{n}）}{1-8}$+2$•\frac{（1+n）n}{2}$
=$\frac{2}{7}$（8ⁿ-1）+n（n+1）…12分

点评 本题主要考查了等比数列，等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基本知识的考查．