Question

9．已知数列{a_n}是公差d＞0的等差数列，其中a₁、a₂是方程x²-3x+2=0的两根．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记${b_n}={2^{a_n}}+{（-1）^n}{a_n}$，求数列{b_n}的前100项和T₁₀₀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x²-3x+2=0，解得x．可得a₁，a₂，利用等差数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）由${b_n}={2^{a_n}}+{（-1）^n}{a_n}={2^n}+{（-1）^n}n$，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵x²-3x+2=0，解得x=1，或x=2．
由题意得a₁=1，a₂=2，
∴d=1，
∴a_n=1+（n-1）•1=n．
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{a_n}}+{（-1）^n}{a_n}={2^n}+{（-1）^n}n$，
∴${T_{100}}=\frac{{2（1-{2^{100}}）}}{1-2}+[（-1+2）+（-3+4）+…+（-99+100）]$
=2¹⁰¹-2+50=2¹⁰¹+48．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．