Question

4．已知曲线Γ为函数f（x）=3x-x³的图象，过点A（2，2）作曲线Γ的切线，可能的切线条数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 设出切点P（m，3m-m³），利用导数求出过切点的切线方程，代入M点坐标，然后再利用导数求解关于m的方程的解的个数，则答案可求．

解答 解：设切点为P（m，3m-m³），
由f（x）=3x-x³，得f′（x）=3-3x²，
∴切线的斜率k=3-3m²，
得曲线过P点的切线方程为y-3m+m³=（3-3m²）（x-m），
即y=3（1-m²）x+2m³，
∵切线过点M（2，2），
故2=6-6m²+2m³，
即2m³-6m²+4=0，
令h（m）=2m³-6m²+4，
则h′（m）=6m²-12m，
由h′（m）=0，解得m=0或m=2，
当m∈（-∞，0），（2，+∞）时，h′（m）＞0，
当m∈（0，2）时，h′（m）＜0．
∴h（m）的极大值、极小值分别为h（0）=5＞0，
h（2）=-3＜0，
故其图象与x轴交点3个，
也就是切线条数为3．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点个数的判断，体现了数学转化思想方法，是中档题．