Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，E为线段CD上一动点，现将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，当E从D运动到C，则D在平面ABC上的射影K所形成轨迹的长度为（　　）
 

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则∠D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一段弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．

解答 解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足是D在平面ABC上的射影，由翻折的特征知，连接D'K，
则∠D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是$\frac{1}{2}$，
如图当E与C重合时，AK=$\frac{1}{2}$，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠K0A=$\frac{π}{3}$，∴∠K0D'=$\frac{2π}{3}$，
其所对的弧长为$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}=\frac{π}{3}$；
故选：D．

点评 本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变．