Question

6．在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2），B（2，3），D（-2，-1）．
（Ⅰ）求平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长；
（Ⅱ）设实数m满足$（\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{OD}）•\overrightarrow{OD}=0$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的平行四边形法则求出$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$的坐标，然后求向量的模；
（Ⅱ）利用坐标表示向量，利用数量积为0，得到关于m的方程解之．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{AB}=（3，5），\overrightarrow{AD}=（-1，1）$，…（2分）
由$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=（2，6）$，得$|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{10}$，…（4分）
由$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=（-4，-4）$，得$|\overrightarrow{BD}|=4\sqrt{2}$．…（6分）
所以，平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长分别为$2\sqrt{10}，4\sqrt{2}$．…（7分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OD}=（-2，-1）$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OD}=-11$，${\overrightarrow{OD}^2}=5$，…（10分）
∵$（\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{OD}）•\overrightarrow{OD}=0$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OD}+m{\overrightarrow{OD}^2}=0$，…（11分）
∴-11+5m=0，∴$m=\frac{11}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了有向线段的坐标表示、向量的平行四边形法则以及求模、数量积的坐标运算；属于基础题．