Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为$2-\sqrt{2}$，且右焦点到直线$x=\frac{a^2}{c}$的距离等于短半轴的长，已知P（4，0），过P的直线与椭圆交于M、N两点
（Ⅰ）求椭圆C的方程   
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}a-c=2-\sqrt{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=b\end{array}\right.$，又a²=b²+c²．联立解出即可．
（II）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x-4）．与椭圆方程联立可得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．由于△＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{6}$．设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根与系数的关系及其数量积运算可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=22-$\frac{26}{1+2{k}^{2}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}a-c=2-\sqrt{2}\\ \frac{a^2}{c}-c=b\end{array}\right.$，又a²=b²+c²．
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
故椭圆C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x-4）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1.\end{array}\right.$得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．
$\begin{array}{l}△={（-16{k^2}）^2}-4（2{k^2}+1）（32{k^2}-4）=16-96{k^2}＞0\end{array}$，
∴${k^2}＜\frac{1}{6}$．
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{32{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-4）（x₂-4）=k²[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]=$\frac{12{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{44{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=22-$\frac{26}{1+2{k}^{2}}$，
∵$0≤{k^2}＜\frac{1}{6}$，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}∈[-4，\frac{5}{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．