Question

1．在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，
求所形成的几何体的体积V和表面积S．

Answer 1

分析 如图所示，把△ABC绕直线AB旋转一周，是以AO为底面上的高、OC为半径的大圆锥减去同底面以BO为高的圆锥后剩下的几何体．利用圆锥的体积计算公式与侧面积计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
把△ABC绕直线AB旋转一周，是以AO为底面上的高、OC为半径的大圆锥减去同底面以BO为高的圆锥后剩下的几何体．
∵∠ABC=120°，∴∠OBC=60°．
∵BC=4，∴OB=2，OC=2$\sqrt{3}$．
∴AO=AB+BO=6．
∴V=$\frac{1}{3}π×O{C}^{2}（AO-BO）$=$\frac{1}{3}×π×（2\sqrt{3}）^{2}×4$=16π．
∵AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴S=S_{大圆锥侧面积}+S_{小圆锥侧面积}
=π•OC•AC+πOC•BC
=$π×2\sqrt{3}×4\sqrt{3}$+$π×2\sqrt{3}×4$
=$（24+8\sqrt{3}）$π．

点评 本题考查了旋转体圆锥的体积计算公式与侧面积计算公式、直角三角形的边角关系、勾股定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．