Question

11．已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=2，b₁=2015，且对任意的正整数n，a_n，a_n+1，b_n和a_n+1，b_n+1，b_n均成等差数列
（1）证明：{a_n-b_n}和{a_n+2b_n}均成等比数列
（2）是否存在唯一的正整数c，使得a_n＜c＜b_n恒成立？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意和等差中项的性质列出关系式并化简，分别代入$\frac{{a}_{n+1}-{b}_{n+1}}{{a}_{n}-{b}_{n}}$和$\frac{{a}_{n+1}+2{b}_{n+1}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$化简，利用等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）和等比数列的通项公式求出a_n和b_n，利用指数函数的单调性判断出两个数列的单调性，以及满足条件的不等式和c的值，令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1342}{{4}^{n-1}}＜1}\\{\frac{671}{{4}^{n-1}}＜1}\end{array}\right.$求出n的值进一步证明，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵对任意的正整数n，a_n，a_n+1，b_n和a_n+1，b_n+1，b_n均成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{2}}\\{{b}_{n+1}=\frac{{a}_{n+1}+{b}_{n}}{2}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}{b}_{n}}\\{{b}_{n+1}=\frac{1}{4}{a}_{n}+\frac{3}{4}{b}_{n}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{a}_{n+1}-{b}_{n+1}}{{a}_{n}-{b}_{n}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}{b}_{n}）-（\frac{1}{4}{a}_{n}+\frac{3}{4}{b}_{n}）}{{a}_{n}-{b}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，
又a₁-b₁=2-2015=-2013，
∴数列{a_n-b_n}是以-2013为首项、$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
∵$\frac{{a}_{n+1}+2{b}_{n+1}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$=$\frac{（\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}{b}_{n}）+2（\frac{1}{4}{a}_{n}+\frac{3}{4}{b}_{n}）}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$=1，
又a₁+2b₁=2+4030=4032，
∴数列{a_n+2b_n}是以4032为首项、1为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-{b}_{n}=-2013•\frac{1}{{4}^{n-1}}}\\{{{a}_{n}+2b}_{n}=4032}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}=1344-\frac{1342}{{4}^{n-1}}}\\{{b}_{n}=1344+\frac{671}{{4}^{n-1}}}\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}是单调递增数列，数列{b_n}是单调递减数列，且a_n＜1344＜b_n，
∴存在唯一的正整数c=1344，使得a_n＜c＜b_n恒成立，
令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1342}{{4}^{n-1}}＜1}\\{\frac{671}{{4}^{n-1}}＜1}\end{array}\right.$，解得2^2n-2＞1342，则2n-2≥11，解得n≥6.5，
∴对任意的正整数n≥7时，有1343＜a_n＜1344＜b_n＜1345，
且存在唯一的正整数c=1344，
综上所述，存在唯一的正整数c=1344，有a_n＜1344＜b_n恒成立．

点评 本题考查等差中项的性质，等比数列的定义、通项公式，以及等比数列与函数的单调性关系，属于中档题．