Question

16．如图所示，正四棱锥P-ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为$\frac{PO′}{OO′}$=$\frac{1}{2}$，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．
（1）求截得棱台的体积．
（2）求棱锥P-ABCD的内切球的表面积．

Answer 1

分析 （1）计算出棱台的上、下底的边长，高，可得截得棱台的体积；
（2）由等体积计算棱锥P-ABCD的内切球的半径，即可求出棱锥P-ABCD的内切球的表面积．

解答 解：（1）由A′B′∥AB得$\frac{PA′}{PA}=\frac{A′B′}{AB}=\frac{PO′}{PO}$，
∴$\frac{PA′}{15}=\frac{6}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴PA′=5，AB=18，
∵PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=3$\sqrt{7}$
∴OO′=$\frac{2}{3}$PO=2$\sqrt{7}$，
∴V_台=$\frac{1}{3}$（36+18²+$\sqrt{36×1{8}^{2}}$）•2$\sqrt{7}$=312$\sqrt{7}$（cm³）…（6分）
（2）作轴截面图如下，设球心为E，半径为R，

由PH=PQ=12，HQ=AB=18，PO=$\sqrt{1{2}^{2}-{9}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，则
∵S_△PHQ=$\frac{1}{2}$（PH+PQ+HQ）R，
∴$\frac{1}{2}×18×3\sqrt{7}$=$\frac{1}{2}$（12+12+18）R，
∴R=$\frac{9}{\sqrt{7}}$，
∴棱锥P-ABCD的内切球的表面积为4πR²=$\frac{324}{7}$π（cm²）…（12分）

点评 本题考查棱台的体积，考查棱锥P-ABCD的内切球的表面积，考查学生的计算能力，求出棱锥P-ABCD的内切球的半径是关键，属于中档题．