Question

4．已知定点P（0，1），动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线y=x²相切，则Q的轨迹方程是x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0．

Answer 1

分析 求出线段PQ的垂直平分线，代入抛物线y=x²，利用△=0，即可求出Q的轨迹方程．

解答 解：设Q（a，b），则线段PQ的垂直平分线方程为y-$\frac{b+1}{2}$=-$\frac{a}{b-1}$（x-$\frac{a}{2}$），即y=-$\frac{a}{b-1}$x+$\frac{b+1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$
代入y=x²，整理可得x²+$\frac{a}{b-1}$x-$\frac{b+1}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$=0，
∵动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线y=x²相切，
∴△=（$\frac{a}{b-1}$）²-4[-$\frac{b+1}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$]=0，即a²+2（b+1）（b-1）²+2a²（b-1）=0，
∴Q的轨迹方程是x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0，
故答案为：x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，求出线段PQ的垂直平分线方程是关键．