Question

7．若对区间D上的任意x都有f₁（x）≤f（x）≤f₂（x）成立，则称f（x）为f₁（x）到f₂（x）在区间D上的“任性函数”，已知 f₁（x）=lnx+x²，f₂（x）=$\frac{1}{x}$+3x，若f（x）=x+a是f₁（x）到f₂（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上的“任性函数”，则a的取值范围是0$≤a≤2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 仔细阅读题意得出lnx+x²≤x+a≤$\frac{1}{x}$+3x，分离参数得出不等式x²-x+lnx≤a≤2x$+\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
构造函数g（x）=x²-x+lnx，m（x）=2x$+\frac{1}{x}$，g（x）_大值≤a≤m（x）_小值，利用不等式，函数的单调性求解即可．

解答 解：根据题意得出：∵任意x都有f₁（x）≤f（x）≤f₂（x）成立，
∴lnx+x²≤x+a≤$\frac{1}{x}$+3x，
即x²-x+lnx≤a≤2x$+\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]
g（x）_大值≤a≤m（x）_小值
设g（x）=x²-x+lnx可以判断在x∈[$\frac{1}{2}$，1]单调递增，
g（x）_大=1-1+ln1=0，
令m（x）=2x$+\frac{1}{x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]
2x$+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$（x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立）
∴m（x）_小值=2$\sqrt{2}$，
故a的取值范围是0$≤a≤2\sqrt{2}$
故答案为；0$≤a≤2\sqrt{2}$

点评 本题考查了新概念题目，转化出不等式恒成立问题，构造函数，转化为函数最值问题求解，属于函数思想的运用，属于中档题．