Question

5．如图，线段AB长度为2，以AB为直径作半圆O，又以半圆O的一条弦AC为边作正方形ACDE，设△OED的面积为S，∠CAB=α．
（1）试将S表示成关于α的函数；
（2）求S的最大值，并求S取得最大值时α的大小．

Answer 1

分析 （1）如图所示，作OG⊥DE于G，S=$\frac{1}{2}DE×OG$，求出DE，OG，即可将S表示成关于α的函数；
（2）利用辅助角公式化简函数，即可求S的最大值，并求S取得最大值时α的大小．

解答 解：（1）如图所示，作OG⊥DE于G，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵A，C，D，E为正方形，
∴∠ACD=90°，
∴B，C，D在同一直线上，OG∥BD，
∵AE=DE=DC=AC=ABcosα=2cosα，BC=ABsinα=2sinα，
∴BD=DC+BC=2（cosα+sinα），
∵OG是梯形ABDE的中位线，
∴OG=$\frac{1}{2}$（AE+BD）=2cosα+sinα，
∴S=$\frac{1}{2}DE×OG$=$\frac{1}{2}$×2cosα×（2cosα+sinα）=cos2α+sin2α+1；
（2）S=cos2α+sin2α+1=$\sqrt{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）+1，
∴2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{8}$时，S取最大值$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查辅助角公式，正确表示三角形的面积是关键．