Question

8．设A={x|x²+（4-a²）x+a+3=0}，B={x|x²-5x+6=0}，C={x|2x²-5x+2=0}．
（1）若A∩B=A∪B，求a的值；
（2）若A∩B=A∩C≠∅，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先分别求出集合B，C，再根据A∩B=A∪B，得到A=B，根据根与系数的关系即可求出a的值；
（2）由A∩B=A∩C≠∅，得到A∩B=A∩C={2}，即2∈A，代入解得a的值，并需要验证．

解答 解：（1）B={x|x²-5x+6=0}，C={x|2x²-5x+2=0}，
∴B={2，3}，C={2，$\frac{1}{2}$}，
∵A∩B=A∪B，
∴A=B，
∵A={x|x²+（4-a²）x+a+3=0}，
∴4-a²=-（2+3），a+3=2×3，解得a=3，
（2）∵A∩B=A∩C≠∅，
∴A∩B=A∩C={2}，
∴2∈A，
∴2²+2（4-a²）+a+3=0  即2a²-a-15=0
解得a=3或a=-$\frac{5}{2}$，
当a=3时，A={2，3}  此时A∩B≠A∩C 舍去；
当a=-$\frac{5}{2}$时，A={2，$\frac{1}{4}$} 此时满足题意．
综上，a=-$\frac{5}{2}$．

点评 本题题主要考查子集的定义及其有方程的解法，集合的交集及并集集运算，属于基础题．